之前在另一篇文章中介绍过单射函数 理解单射函数
但那篇文章并不是以集合概念切入的。
这篇文章会以函数的本质， 集合映射关系来介绍函数的 单射， 满射和双射
函数的本质是集合的映射关系
通俗地讲， 函数是把1个集合A 的元素映射到另1个集合B 的配对方法
注意， 上图的集合A 也可以理解为的函数定义域， 但是B 并不能理解为值域， 而是应该是陪域 (
值域
⊆
陪域
值域 \subseteq\ 陪域
值域⊆ 陪域)
集合B中可以有额外的元素没有被A的元素所对应。
函数集合A中的元素不能对应多个B中的元素
很简单， 因为函数的性质有
∀
x
=
x
2
→
f
(
x
)
=
f
(
x
2
)
\forall x=x_2 \rightarrow f(x) = f(x_2)
∀x=x2→f(x)=f(x2)
同1个输入不能允许有多个不同的输出值 下图的集合关系不是1个函数
单射函数(Injective Function)
数学式定义：
f
(
x
)
=
f
(
x
2
)
⟺
x
=
x
2
f(x) = f(x_2) \iff x = x_2
f(x)=f(x2)⟺x=x2
集合定义: 单射的意思是 A 的每个元素都有 它独有的在 B 的相对元素
例如： 下面的集合关系， 就是代表1个单射函数
如果有多个不同A的元素指向同1个B的元素， 那么它就不是单射函数
这里已经隐隐约约可以看出， 单射函数是具有反函数的其中1个必要条件(并不是充分哦)
常见的单射函数有
f
(
x
)
=
2
x
+
1
,
x
∈
R
f(x) = 2x + 1, x \in R
f(x)=2x+1,x∈R
f
(
x
)
=
x
3
，
x
∈
R
f(x) = x^3， x \in R
f(x)=x3，x∈R 等等
非单射函数有 $f(x) = x^2
f
(
x
)
=
s
i
n
(
x
)
,
x
∈
R
f(x) = sin(x), x \in R
f(x)=sin(x),x∈R 等等
注意， 虽然
f
(
x
)
=
s
i
n
(
x
)
,
x
∈
R
f(x) = sin(x), x \in R
f(x)=sin(x),x∈R 是非单射函数
但是如果我们调整下定义域，
f
(
x
)
=
s
i
n
(
x
)
,
x
∈
(
−
π
,
π
]
f(x) = sin(x), x \in (-\pi, \pi]
f(x)=sin(x),x∈(−π,π] 注意这里
−
π
-\pi
−π是不在定义域内的
那么就变成了1个单射函数了
满射函数(Surjective Function)
满射的集合定义： 函数f (从集合A到集合B), 当且仅当 B中的每1个元素， 至少在集合A有1个对应关系的元素。
例如下面的集合关系就是1个满射函数
而下面的集合关系是1个非满射函数， B中多了1个看起来多余的元素.
满射的陪域定义
由我之前介绍陪域的文章可知， 陪域并不是值域， 而是值域的1个超集。 对于函数定义的集合A 和 集合B, 其实集合B就是陪域
所以满射函数离不开陪域的定义
另1个定义： 如果 1个函数的 陪域等与值域， 那么这个函数是满射函数， 反之亦然
满射的数学式定义
通常我们定义1个 有明确数学式的函数， 都是只包括数学式和定义域。 但是如果定义1个满射函数的话， 往往需要带上陪域的定义
例如下面的函数是1个满射函数
f
:
R
−
>
(
0
,
+
∞
]
,
f
(
x
)
=
2
x
f:R-> (0, +\infty], f(x) = 2^x
f:R−>(0,+∞],f(x)=2x 这里的定义已经包括了定义域R 和 陪域
(
0
,
+
∞
]
(0, +\infty]
(0,+∞]
但是， 如果我们把陪域定义为R的话，它就不是1个满射函数
f
:
R
−
>
R
,
f
(
x
)
=
2
x
f:R->R, f(x) =2^x
f:R−>R,f(x)=2x 因为陪域中的负数 没有x可以对应
也就是讲， 如果我们要描述1个函数的满射性质， 就需要带入陪域
满射的正式定义：
∀
b
∈
B
,
∃
a
∈
A
→
f
(
a
)
=
b
\forall b \in B, \exists \ a \in A \rightarrow f(a) = b
∀b∈B,∃ a∈A→f(a)=b 这里的
∃
\exists
∃ 是存在(至少存在1个)的意思
那f:A->B 是1个满射函数， 反之依然
这里也隐隐觉得满射函数也是1个函数具有反函数的必要条件
双射函数(One-to-One Correspondence)
单射函数和满射函数并不是互相排斥的
例如下面集合关系是单射函数但是不是满射函数
而下面这个集合关系是满射函数而非单射函数
而下面这个函数关系不是单射函数， 也不是满射函数
最后一种情况， 既是单射函数， 又是满射函数
而同时是单射和满射的函数， 就是所谓的双射函数， 这时定义域和陪域的元素one-one 对应。 所以双射函数也叫 One-to-One Correspondence 一一对应函数
双射函数就是1个函数具有反函数的充要条件了！
